Générateur infinitésimal

Un générateur infinitésimal est un outil de calcul stochastique, utilisé notamment pour les processus de Markov à temps continu.

Dans les chaînes de Markov à temps continu

• Soit le processus stochastique ${\displaystyle \{X(t),t\geq 0\}}$ à temps continu et à états discrets.
  • Soit ${\displaystyle \tau _{i}}$ la variable aléatoire désignant le temps que passe le processus à l'état ${\displaystyle i}$ avant de passer dans un autre état. Les chaînes de Markov à temps continu sont des processus stochastiques qui doivent (entre autres) vérifier la propriété de non-vieillissement :
    ${\displaystyle P[\tau _{i}>t s|\tau _{i}>t]=P[\tau _{i}>s],}$
    ce qui signifie que le temps qu'il reste à passer dans un état ne dépend pas du temps déjà passé dans cet état.
    De cette propriété on peut déduire que dans une chaîne de Markov à temps continu les variables aléatoires ${\displaystyle \tau _{i}}$ suivent des lois exponentielles (car celles-ci sont les seules lois de probabilités continues vérifiant la propriété de non-vieillissement).
  • On notera ${\displaystyle p_{ij}(t)}$ la probabilité que partant de l'état ${\displaystyle i}$ à un instant ${\displaystyle s}$, on soit dans ${\displaystyle j}$ à l'instant ${\displaystyle t s}$. C'est-à-dire :

${\displaystyle p_{ij}(t)=P[X(s t)=j|X(s)=i]=P[X(t)=j|X(0)=i].}$

Les fonctions ${\displaystyle p_{ij}(t)}$ sont appelées « fonctions de transition de la chaîne », et ont la propriété :

Pour tout i, ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }p_{ij}(t)=1}$ (c'est-à-dire que l'on doit forcément être dans un des états au temps t.)

Par ailleurs ces fonctions vérifient les équations de Chapman-Kolmogorov continues.

Notes et références

• Portail des probabilités et de la statistique