Le lemme de Barbalat est un résultat d'analyse démontré par le mathématicien roumain Ion Barbălat en 1959. Il est parfois utilisé dans l'étude des équations différentielles.

Énoncé

Contre-exemple

L'hypothèse d'uniforme continuité est essentielle, même si la fonction est positive. En effet, si l'on considère la fonction affine par morceaux f définie par :

∀ k ⩾ 2 ∀ x ∈ [ k − 1 k 3 , k ] f ( x ) = k 4 ( x − k 1 k 3 ) {\displaystyle \forall k\geqslant 2\quad \forall x\in \left[k-{\frac {1}{k^{3}}},k\right]\quad f(x)=k^{4}\left(x-k {\frac {1}{k^{3}}}\right)}

et

∀ k ⩾ 2 ∀ x ∈ [ k , k 1 k 3 ] f ( x ) = − k 4 ( x − k − 1 k 3 ) {\displaystyle \forall k\geqslant 2\forall x\in \left[k,k {\frac {1}{k^{3}}}\right]\quad f(x)=-k^{4}\left(x-k-{\frac {1}{k^{3}}}\right)}

et f nulle ailleurs, la fonction f est bien intégrable, car : ∫ − ∞ ∞ | f ( t ) | d t = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{ \infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t=\sum _{k=1}^{ \infty }{\frac {1}{k^{2}}}< \infty } .

Or, f {\displaystyle f} ne tend pas vers 0 {\displaystyle 0} en ∞ {\displaystyle \infty } (elle n'est même pas bornée).

Références

  • Portail de l'analyse

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